Question

（（本小题满分12分）
已知几何体的三视图如图所示，其中侧视图和俯视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形.求：

（1）异面直线与所成角的余弦值；
（2）二面角的正弦值；
（3）此几何体的体积的大小.

Answer 1

解：方法一（1）取EC的中点是F，连结BF，
则BF//DE，∴∠FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角．
在△BAF中，AB=，BF=AF=．∴．
∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．………………4分
（2）AC⊥平面BCE，过C作CG⊥DE交DE于G，连AG．
可得DE⊥平面ACG，从而AG⊥DE
∴∠AGC为二面角A-ED-B的平面角．
在△ACG中，∠ACG=90°，AC=4，CG=
∴．∴．
∴二面角A—ED—B的正弦值为．………………8分
（3）
∴几何体的体积V为16．………………12分
方法二：（坐标法）（1）以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，2），E（0，0，4）
，∴
∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．…………4分
（2）平面BDE的一个法向量为，
设平面ADE的一个法向量为，

∴
从而,令，
则,
∴二面角A-ED-B的的正弦值为．………………8分
（3），∴几何体的体积V为16．………………12分

解析