Question

设函数f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax+8，其中a∈R．
（1）若f（x）在x=3处取得极值，求常数a的值；
（2）若f（x）在（-∞，0）上为增函数，求a的取值范围．

Answer 1

（1）f'（x）=6x²-6（a+1）x+6a=6（x-a）（x-1）．
因f（x）在x=3取得极值，所以f'（3）=6（3-a）（3-1）=0．解得a=3．
经检验知当a=3时，x=3为f（x）为极值点．
（2）令f'（x）=6（x-a）（x-1）=0得x₁=a，x₂=1．
当a＜1时，若x∈（-∞，a）∪（1，+∞），则f'（x）＞0，所以f（x）在（-∞，a）和（1，+∞）上为增
函数，故当0≤a＜1时，f（x）在（-∞，0）上为增函数．
当a≥1时，若x∈（-∞，1）∪（a，+∞），则f'（x）＞0，所以f（x）在（-∞，1）和（a，+∞）上为增函
数，从而f（x）在（-∞，0]上也为增函数．
综上所述，当a∈[0，+∞）时，f（x）在（-∞，0）上为增函数．