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    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    精英家教网某先生居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班，若该地各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如如图所示．（例如：A→C→D算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为
    1
    10
    ，路段CD发生堵车事件的概率为
    1
    15
    ）．
    （1）请你为其选择一条由A到B的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；
    （2）若记路线A→C→F→B中遇到堵车次数为随机变量X，求X的概率分布．
    分析：（1）因为各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线A→C→D→B中遇到堵车的概率P1可以做出，路线A→C→F→B中遇到堵车的概率，路线A→E→F→B中遇到堵车的概率，进行比较得到结果．
    （2）由题意知路线A→C→F→B中遇到堵车次数X可取值为0，1，2，3．结合变量对应的事件，写出变量的分布列和期望．
    解答：解：（1）记路段MN发生堵车事件为MN，MN∈{AC，CD，BD，BF，CF，AE，EF}．
    因为各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线A→C→D→B中遇到堵车的概率P1为
    1-P（
    .
    AC
    •
    .
    CD
    •
    .
    DB
    ）
    =1-P（
    .
    AC
    ）P（
    .
    CD
    ）P（
    .
    DB
    ）
    =1-[1-P（AC）][1-P（CD）][1-P（DB）]
    =1-
    9
    10
    ×
    14
    15
    ×
    5
    6
    =
    3
    10
    ；
    同理，路线A→C→F→B中遇到堵车的概率P2为
    1-P（
    .
    AC
    •
    .
    CF
    •
    .
    FB
    ）=
    239
    800
    （小于
    3
    10
    ）；
    路线A→E→F→B中遇到堵车的概率P3为
    1-P（
    .
    AE
    •
    .
    EF
    •
    .
    FB
    ）=
    91
    300
    （大于
    3
    10
    ）．
    显然要使得由A到B的路线途中发生堵车事件的概率最小，只可能在以上三条路线中选择．
    因此选择路线A→C→F→B，可使得途中发生堵车事件的概率最小．
    （2）路线A→C→F→B中遇到堵车次数X可取值为0，1，2，3．
    P（X=0）=P（
    .
    AC
    •
    .
    CF
    •
    .
    FB
    ）=
    561
    800
    ，
    P（X=1）=P（AC•
    .
    CF
    •
    .
    FB
    ）+P（
    .
    AC
    •CF•
    .
    FB
    ）+P（
    .
    AC
    •
    .
    CF
    •FB）
    =
    1
    10
    ×
    17
    10
    ×
    11
    12
    +
    9
    10
    ×
    3
    20
    ×
    11
    12
    +
    9
    10
    ×
    17
    20
    ×
    1
    12
    =
    637
    2400
    ，
    P（X=2）=P（AC•CF•
    .
    FB
    ）+P（AC
    .
    CF
    •FB）+P（
    .
    AC
    •CF•FB）
    =
    1
    10
    ×
    3
    20
    ×
    11
    12
    +
    1
    10
    ×
    17
    20
    ×
    1
    12
    +
    9
    10
    ×
    3
    20
    ×
    1
    12
    =
    77
    2400
    ，
    P（X=3）=P（AC•CF•FB）=
    1
    10
    ×
    3
    20
    ×
    1
    12
    =
    3
    2400
    ．
    ∴X的概率分布为
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    点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望问题，考查相互独立事件同时发生的概率，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难．
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    1
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    （1）请你为其选择一条由A到B的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；
    （2）若记ξ路线A→（3）C→（4）F→（5）B中遇到堵车次数为随机变量ξ，求ξ的数学期望Eξ．

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    （1）请你为其选择一条由A到B的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；

    （2）若记路线A→C→F→B中遇到堵车次数为随机变量ξ，求ξ的数学期望.

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    (1)请你为其选择一条由A到B的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；

    (2)若记路线A→C→F→B中遇到堵车次数为随机变量X，求X的概率分布.

     

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    （1）请你为其选择一条由A到B的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；
    （2）若记路线A→C→F→B中遇到堵车次数为随机变量X，求X的概率分布．

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