Question

某先生居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班，若该地路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图（例如A→C→D算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为，路段CD发生堵车事件的概率为）.

（1）请你为其选择一条由A到B的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；

（2）若记路线A→C→F→B中遇到堵车次数为随机变量ξ，求ξ的数学期望.

Answer 1

解析：（1）记路段MN不发生堵车事件为，因为各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次.

所以路线A→C→D→B中遇到堵车的概率为P₁为1-P（）=1-P（）·P（）·P（）=1-［1-P（AC）］［1-P（CD）］［1-P（DB）］=1-；

同理路线A→C→F→B中遇到堵车的概率P₂=1-P（）=（小于）；

路线A→E→F→B中遇到堵车的概率为P₃=1-P（）=（大于）；

显然要使得由A到B的路线途中发生堵车事件的概率最小，只可能在以上三条路线中选择，因此选择路线A→C→F→B可使得途中堵车事件的概率最小.

（2）路线A→C→F→B中遇到堵车次数ξ可取值为0，1，2，3，P（ξ=0）=P（）=；

P（ξ=1）=P（）+P（）+P（）=；

P（ξ=2）=P（AC·CF·）+P（AC··FB）+P（·CF·FB）=

;

P（ξ=3）=P（AC·CF·FB）

=

∴Eξ=0·.

答：路线A→C→F→B中遇到堵车次数的数学期望为.