Question

【题目】如图，已知为抛物线上在轴下方的一点，直线，，与抛物线在第一象限的交点从左到右依次为，，，与轴的正半轴分别相交于点，，，且，直线的方程为.

（1）当时，设直线，的斜率分别为，，证明：；

（2）求关于的表达式，并求出的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)见解析.(2) .

【解析】

(1)由题意首先确定点P的坐标，然后设出点M,N的坐标，利用斜率公式求得斜率即可证得题中的等式；

(2)由题意首先确定点A和点C的坐标，然后求解点到直线的距离和点到直线的距离，最后结合几何图形的性质得到面积比值的函数，由函数的定义域和函数的值域可确定的取值范围.

（1）由解得或，则.

易知，由题意可得，（，且），

所以，，

所以，.

所以.

（2）由（1）得，当时，直线的方程为，

当时，直线的方程为，适合上式，

所以直线的方程为.

由消去得，

所以，解得，所以点的坐标为.

由（1）得，直线的方程为，

由消去得，

所以，解得，所以点的坐标为.

则点到直线的距离为 ，

点到直线的距离为 ，

所以 .

因为，所以，所以，

所以的取值范围是.