Question

9．已知点A（2，0），点B（2$\sqrt{3}$，0），直线l：（λ+3）x+（λ-1）y-4λ=0（其中λ∈R）．
（Ⅰ）求直线l所经过的定点P的坐标；
（Ⅱ）若分别过A，B且斜率为$\sqrt{3}$的两条平行直线截直线l所得线段的长为4$\sqrt{3}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （I）把λ看做未知数，令λ的系数和常数均为0列方程组解出x，y即可得出定点坐标．
（II）先求出过A，B且斜率为$\sqrt{3}$的两条平行直线，再分直线l的斜率存在和不存在两种情况讨论即可．

解答 解：（I）直线l的方程可化为：（x+y-4）λ+3x-y=0，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4=0}\\{3x-y=0}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$．
∴直线l所经过的定点P（1，3）．
（II）过A点且斜率为$\sqrt{3}$的直线方程为：$\sqrt{3}$x-y-2$\sqrt{3}$=0，
过B点且斜率为$\sqrt{3}$的直线方程为：$\sqrt{3}$x-y-6=0，
若直线l无斜率，则直线l的方程为x=1，
把x=1分别代入两平行线方程可得交点坐标分别为（1，-$\sqrt{3}$），（1，$\sqrt{3}-6$），
∴直线l被两平行线所截的线段长为|y₁-y₂|=6-2$\sqrt{3}$≠4$\sqrt{3}$，不符合题意；
若直线l有斜率，设直线l的方程为y=kx-k+3，显然k$≠\sqrt{3}$．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x-y-2\sqrt{3}=0}\\{y=kx-k+3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3+2\sqrt{3}-k}{\sqrt{3}-k}}\\{y=\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{3}k}{\sqrt{3}-k}}\end{array}\right.$，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x-y-6=0}\\{y=kx-k+3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{9-k}{\sqrt{3}-k}}\\{y=\frac{3\sqrt{3}-\sqrt{3}k+6k}{\sqrt{3}-k}}\end{array}\right.$，
∴（$\frac{2\sqrt{3}-6}{\sqrt{3}-k}$）²+（$\frac{2\sqrt{3}k-6k}{\sqrt{3}-k}$）²=48，
解得k=2±$\sqrt{3-\frac{4}{\sqrt{3}}}$，
∴直线l的方程为y=（2+$\sqrt{3-\frac{4}{\sqrt{3}}}$）x-$\sqrt{3-\frac{4}{\sqrt{3}}}$+1或y=（2-$\sqrt{3-\frac{4}{\sqrt{3}}}$）x+$\sqrt{3-\frac{4}{\sqrt{3}}}$+1．

点评 本题考查了直线的方程，交点坐标与距离公式，计算较复杂，属于中档题．