Question

17．已知函数y=f（x）满足f（x-1）=2x+3a，且f（a）=7．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若g（x）=x•f（x）+λf（x）+x在[0，2]上最大值为2，求实数λ的值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）首先化简g（x）解析式，讨论二次函数的对称轴与区间的位置关系得到函数最大值，求出λ．

解答 解：（1）函数y=f（x）满足f（x-1）=2x+3a，且f（a）=7，
设x-1=t，则x=t+1，
f（t）=2（t+1）+3a，
∴f（a）=2（a+1）+3a=7，
解得a=1，
∴f（x）=2x+5．
（2）g（x）=x•f（x）+λf（x）+x
=2x²+5x+2λx+5λ+x
=2x²+（6+2λ）x+5λ，对称轴为x=-3-λ，
所以①当-3-λ＜0即λ＞-3时，g（x）在[0，2]上单调递增，最大值为g（2）=2=20+9λ，解得λ=-2；
②当0≤-3-λ≤1，即-4≤λ≤-3，g（x）在[0，2]上最大值为g（2）=2=20+9λ，解得λ=-2；不合题意，舍去；
③当1＜-3-λ≤2即-5≤λ≤-4，g（x）在[0，2]上最大值为g（0）=5λ=2，解得λ=$\frac{2}{5}$；不合题意，舍去；
④当-3-λ＞2时即λ＜-5，g（x）在[0，2]上单调递减，最大值为g（0）=2=5λ，解得λ=$\frac{2}{5}$‘不合题意，舍去；
综上，实数λ的值为-2．

点评 本题考查函数的解析式的求法；考查运算求解能力，考查讨论的思想．