Question

已知α、β为锐角，向量

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），

c

=（

1

2

，-

1

2

）．
（1）若

a

•

b

=

2

2

，

a

•

c

=

3 -1

4

，求角2β-α的值；
（2）若

a

=

b

+

c

，求tanα的值．

Answer 1

分析：（1）由

a

•

b

=（cosα，sinα）•（cosβ，sinβ）=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α-β）=

2

2

，可得

a

•

c

=（cosα，sinα）•（

1

2

，-

1

2

）=

1

2

cosα-

1

2

sinα=

3 -1

4

，α、β为锐角，可得α与β的值，从而即可求角2β-α的值．
（2）由

a

=

b

+

c

可得

cosα=cosβ+ 1 2 sinα=sinβ- 1 2

，③²+④²得cosα-sinα=

1

2

，可得2sinαcosα=

3

4

．又2sinαcosα=

2sinαcosα

sin2α+cos2α

=

2tanα

tan2α+1

=

3

4

，可得3tan²α-8tanα+3=0，又α为锐角，即可求出tanα的值．

解答：解：（1）∵

a

•

b

=（cosα，sinα）•（cosβ，sinβ），
=cosαcosβ+sinαsinβ
=cos（α-β）=

2

2

，①

a

•

c

=（cosα，sinα）•（

1

2

，-

1

2

），
=

1

2

cosα-

1

2

sinα=

3 -1

4

，②
又∵0＜α＜

π

2

，0＜β＜

π

2

，
∴-

π

2

＜α-β＜

π

2

．
由①得α-β=±

π

4

，由②得α=

π

6

．
由α、β为锐角，∴β=

5π

12

．
从而2β-α=

2

3

π．
（2）由

a

=

b

+

c

可得

cosα=cosβ+ 1 2 sinα=sinβ- 1 2

，
③²+④²得cosα-sinα=

1

2

，∴2sinαcosα=

3

4

．
又∵2sinαcosα=

2sinαcosα

sin2α+cos2α

=

2tanα

tan2α+1

=

3

4

，
∴3tan²α-8tanα+3=0．
因为cosα-sinα＞0 所以cosα＞sinα又因为α为锐角，所以tanα＜1，
又∵α为锐角，∴tanα＞0，
∴tanα=

8- 82-4×3×3

6

=

4- 7

3

．

点评：本题考查了两角函数和与差的运算及平面向量数量积的运算，难度一般，关键是掌握两角和与差的余弦函数公式．