Question

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，a_n+1=2S_n+1（n∈N^*）．
（1）求a₁的值；
（2）设等差数列{b_n}的公差d＜0，前n项和T_n满足T₃=15，且a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，求T_n．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合,数列递推式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）线求出公比，再利用a₂=2S₁+1，即可求a₁的值；
（2）设{b_n}的公差为d，由T₃=15，得b₁+b₂+b₃=15，可得b₂=5，设b₁=5-d，b₃=5+d，从而可得数列的公差，利用求和公式，即可求T_n．

解答： 解：（1）∵a_n+1=2S_n+1，
∴a_n=2S_n-1+1，
∴a_n+1-a_n=2a_n，
∴a_n+1=3a_n，
∴公比q=3，
∵a₂=2S₁+1，
∴3a₁=2a₁+1，
∴a₁=1；
（2）设{b_n}的公差为d，由T₃=15，得b₁+b₂+b₃=15，可得b₂=5
故可设b₁=5-d，b₃=5+d，
∵a₁=1，a₂=3，a₃=9
∴（5-d+1）（5+d+9）=（5+3）²，
∴d=2或-10
∵d＜0，
∴d=-10
∴T_n=15n+

n(n-1)

2

×(-10)=-5n²+20n．

点评：本题考查数列的通项，考查等比数列的性质，考查等差数列的求和，确定数列的通项是关键．