Question

已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数．当x≥0时，f（x）=

5 16 x2(0≤x≤2) ( 1 2 )x+1(x＞2)

若关于x的方程[f（x）]²+af（x）+b=0，a，b∈R有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（　　）

• A、(-

  5

  2

  ，-

  9

  4

  )
• B、(-

  9

  4

  ，-1)
• C、(-

  5

  2

  ，-

  9

  4

  )∪(-

  9

  4

  ，-1)
• D、(-

  5

  2

  ，-1)

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断,函数的零点与方程根的关系

专题：函数的性质及应用

分析：要使关于x的方程[f（x）]²+af（x）+b=0，a，b∈R有且只有6个不同实数根，转化为t²+at+b=0必有两个根t₁、t₂，分类讨论求解．

解答： 解：依题意f（x）在（-∞，-2）和（0，2）上递增，
在（-2，0）和（2，+∞）上递减，
当x=±2时，函数取得极大值

5

4

；
当x=0时，取得极小值0．要使关于x的方程[f（x）]²+af（x）+b=0，a，b∈R有且只有6个不同实数根，
设t=f（x），则则有两种情况符合题意：
（1）t1=

5

4

，且t2∈(1，

5

4

)，
此时-a=t₁+t₂，则a∈(-

5

2

，-

9

4

)；
（2）t₁∈（0，1]，t2∈(1，

5

4

)，
此时同理可得a∈(-

9

4

，-1)，
综上可得a的范围是(-

5

2

，-

9

4

)∪(-

9

4

，-1)．
故选答案C．

点评：本题考察了函数的性质，运用方程与函数的零点的关系，属于中档题．