Question

已知实数x，y满足|2x+y+1|≤|x+2y+2|，且-1≤y≤1，则z=2x+y的最大值是

 

．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内的角点时，从而得到z=2x+y的最大值即可．

解答： 解：先根据约束条件|2x+y+1|≤|x+2y+2|，-1≤y≤1，化间可得
①

2x+y+1≥0 x+2y+2≥0 x-y-1≤0

，或 ②

2x+y+1≥0 x+2y+2≤0 x+y+1≤0

，或 ③

2x+y+1≤0 x+2y+2＞0 x+y+1≥0

，或④

2x+y+1≤0 x+2y+2≤0 x-y-1≥0

．
画出可行域，如图阴影部分，设z=2x+y，
将z的值转化为直线z=2x+y在y轴上的截距，
显然当直线z=2x+y经过点A（2，1）时，z最大，且最大值为5．
故答案为：5．

点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解，属于中档题．