Question

如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=

π

3

，AD=2，AM=1，E是AB的中点．
（Ⅰ）求证：DE⊥NC；
（Ⅱ）在线段AM上是否存在点p，使二面角P-EC-D的大小为

π

6

？若存在，求出AP的长h；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的性质

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）证明：DE⊥DC，ND⊥DE，可得DE⊥平面NDC，即可证明DE⊥NC；
（Ⅱ）以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz，求出平面PEC的一个法向量、平面ECD的法向量．利用向量的夹角公式，建立方程，即可得出结论．

解答： （Ⅰ）证明：菱形ABCD中，AD=2，AE=1，∠DAB=60°，∴DE=

3

．
∴AD²=AE²+DE²，即∠AED=90o，∵AB∥DC，∴DE⊥DC   …①…（1分）
∵平面ADNM⊥平面ABCD，交线AD，ND⊥AD，ND?平面ADNM，∴ND⊥平面ABCD，
∵DE?平面ABCD，∴ND⊥DE  …②…（2分）
由①②及ND∩DC=D，∴DE⊥平面NDC
∴DE⊥NC                                                      …（4分）
（Ⅱ）解：设存在P符合题意．
由（Ⅰ）知，DE、DC、DN两两垂直，以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz（如图），

则D（0，0，0），A（

3

，-1，0），E（

3

，0，0），C（0，2，0），P（

3

，-1，h）（0≤h≤1）．
∴

EP

=（0，-1，h），

EC

=（-

3

，2，0），设平面PEC的法向量为

n

=（x，y，z），
则

-y+hz=0 - 3 x+2y=0

，令x=2，则平面PEC的一个法向量为

n

=（2h，

3

h，

3

） …（7分）
取平面ECD的法向量

m

=（0，0，1），…（9分）
∴cos

π

6

=

3

7h2+3

，解得h=

7

7

∈[0，1]，
即存在点P，使二面角P-EC-D的大小为

π

6

，此时AP=

7

7

．               …（12分）

点评：本题考查线面垂直，考查二面角，考查向量法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．