Question

12．现代产品的销售离不开广告的促销活动，某公司代理一种国际品牌智能环境检测设备，其广告费用x（单位：万元）与年销售量t（单位：件）的统计数据如表所示：

广告费用x（万元）	3	4	5	6
年销售量t（件）	25	30	40	45

这里所给出的数据表示t对x呈线性回归关系$\stackrel{∧}{t}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$．
[参考公式：$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$]．
（1）根据所给数据求出线性回归方程；
（2）将（1）中的$\stackrel{∧}{t}$近似地看作产品的实际年销售量t，若该产品的销售单价g（x）（单位：万元）与广告费x的近似关系是g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{17-2x（x∈{N}^{*}，且1≤x≤5）}\\{6-\frac{2}{x}（x∈{N}^{*}，且6≤x≤10）}\end{array}\right.$试问当公司投入广告费用多少万元时，公司每年获得的销售收入最大，最大销售收入是多少万元？

Answer 1

分析 （1）根据公式求出对应系数，得出线性回归方程；
（2）利用线性回归方程，写出销售收入函数f（x），求出它的最大值即可．

解答 解：（1）$\overline{x}$=$\frac{3+4+5+6}{4}$=4.5，$\overline{t}$=$\frac{25+30+40+45}{4}$=35，
$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{（3×25+4×30+5×40+6×45）-4×4.5×35}{{（3}^{2}{+4}^{2}{+5}^{2}{+6}^{2}）-4{×4.5}^{2}}$=7，
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{t}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$=35-7×4.5=3.5，
所以线性回归方程$\stackrel{∧}{t}$=7x+3.5；
（2）因为$\stackrel{∧}{t}$=7x+3.5，
g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{17-2x（x∈{N}^{*}，且1≤x≤5）}\\{6-\frac{2}{x}（x∈{N}^{*}，且6≤x≤10）}\end{array}\right.$，
销售收入函数为f（x）=t（x）•g（x）
=$\left\{\begin{array}{l}{（7x+3.5）（17-2x），（x{∈N}^{*}，1≤x≤5）}\\{（7x+3.5）（6-\frac{2}{x}），（x{∈N}^{*}，6≤x≤10）}\end{array}\right.$
=$\left\{\begin{array}{l}{-1{4x}^{2}+112x+\frac{119}{2}，（x{∈N}^{*}，1≤x≤5）}\\{42x-\frac{7}{x}+7，（x{∈N}^{*}，6≤x≤10）}\end{array}\right.$；
当1≤x≤5时，f（x）的最大值是f（4）=-14×4²+112×4+$\frac{119}{2}$=283.5，
当6≤x≤10时，f（x）的最大值是f（10）=420-$\frac{7}{10}$+7=426.3；
所以，当公司投入广告费用为10万元时，公司每年获得的销售收入最大，最大销售收入是426.3万元．

点评 本题考查了求线性回归方程的应用问题，也考查了利用回归方程进行预测求函数最值的应用问题，是综合性题目．