Question

（2013•资阳二模）如图，A、B分别是射线OM、ON上的点，给出下列以O为起点的向量：①

OA

+2

OB

；②

1

2

OA

+

1

3

OB

； ③

3

4

OA

+

1

3

OB

；④

3

4

OA

+

1

5

OB

；⑤

3

4

OA

+

BA

+

2

3

OB

．其中终点落地阴影区域内的向量的序号是

①③

（写出满足条件的所有向量的序号）．

Answer 1

分析：利用向量共线的充要条件可得：当点P在直线AB上时，存在唯一的一对有序实数u，v，使得

OP

=u

OA

+v

OB

成立，且u+v=1．可以证明当点P位于阴影区域内的充要条件是：满足

OP

=u

OA

+v

OB

，且u＞0，v＞0，u+v＞1．据此即可判断出答案．

解答：解：由向量共线的充要条件可得：当点P在直线AB上时，存在唯一的一对有序实数u，v，使得

OP

=u

OA

+v

OB

成立，且u+v=1．
可以证明当点P位于阴影区域内的充要条件是：满足

OP

=u

OA

+v

OB

，且u＞0，v＞0，u+v＞1．
证明如下：如图所示，点P是阴影区域内的任意一点，过点P作PE∥ON，PF∥OM，分别交OM，ON于点E，F；
PE交AB于点P^′，过点P^′作P^′F^′∥OM交ON于点F^′，
则存在唯一一对实数（x，y），（u^′，v^′），使得

OP′

=x

OE

+y

OF′

=u′

OA

+v′

OB

，且u^′+v^′=1，u^′，v^′唯一；
同理存在唯一一对实数x^′，y^′使得

OP

=x′

OE

+y′

OF

=x′

OE

+y″

OF′

=u

OA

+v

OB

，
而x^′=x，y^″＞y，
∴u=u^′，v＞v^′，
∴u+v＞u^′+v^′=1．
即可判断出①∵1+2＞1，∴点P位于阴影区域内，故正确；同理③正确；
而②④不正确；
⑤原式=

3

4

OA

+(

OA

-

OB

)+

2

3

OB

=

7

4

OA

-

1

3

OB

，而-

1

3

＜0，故不符合条件．
综上可知：只有①③正确．

点评：熟练掌握向量共线的充要条件：当点P在直线AB上时，存在唯一的一对有序实数u，v，使得

OP

=u

OA

+v

OB

成立，且u+v=1；及当点P位于阴影区域内的充要条件是：满足

OP

=u

OA

+v

OB

，且u＞0，v＞0，u+v＞1．据此即可判断出答案．是解题的关键．