【题目】如图1,在等腰梯形ABCD中,,
,
,E为AD的中点.现分别沿BE,EC将△ABE 和△ECD折起,使得平面ABE⊥平面BCE,平面ECD⊥平面BCE,连接AD,如图2.
(1)若在平面BCE内存在点G,使得GD∥平面ABE,请问点G的轨迹是什么图形?并说明理由.
(2)求平面AED与平面BCE所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)点G的轨迹是直线MN,见解析;(2)
【解析】
(1)分别取和
的中点
和
,连接
,
,
,根据线线平行可证明平面
平面
,则可判断点
的轨迹;(2)以点
为坐标原点,
所在直线为
轴,
所在直线为
轴,
所在直线为
轴,建立空间直角坐标系,分别求两个平面的法向量
,代入公式
求解.
(1)点G的轨迹是直线MN.
理由:如图,分别取BC和CE的中点N和M,连接DM,MN,ND,则MN//BE.
又MN平面BEA,BE
平面BEA,所以MN//平面BEA.
依题意有△ABE,△BCE,△ECD均为边长为2的正三角形,所以MD⊥CE.
又平面ECD⊥平面BCE,则MD⊥平面BCE.又平面ABE⊥平面BCE,所以MD//平面BEA.
所以平面NMD//平面BEA,则点G的轨迹是直线MN.
(2)如图,以点M为坐标原点,MB所在直线为x轴,MC所在直线为y轴,MD所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,则E(0,-1,0),D(0,0,),A
,所以
,
.
设平面AED的法向量为,则
取,得
. 取平面BCE的一个法向量为
,
则, 所以平面AED与平面BCE所成锐二面角的余弦值为
.
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【题目】设,
是两个平面,
,
是两条直线,下列命题错误的是( )
A.如果,
,那么
.
B.如果,
,那么
.
C.如果,
,
,那么
.
D.如果内有两条相交直线与
平行,那么
.
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【题目】已知函数常数
)满足
.
(1)求出的值,并就常数
的不同取值讨论函数
奇偶性;
(2)若在区间
上单调递减,求
的最小值;
(3)在(2)的条件下,当取最小值时,证明:
恰有一个零点
且存在递增的正整数数列
,使得
成立.
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【题目】已知数列各项均为正数,
为其前
项的和,且
成等差数列.
(1)写出、
、
的值,并猜想数列
的通项公式
;
(2)证明(1)中的猜想;
(3)设,
为数列
的前
项和.若对于任意
,都有
,求实数
的值.
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【题目】如图,在四棱锥 E ABCD 中, EC 底面 ABCD , FD / /EC ,底面 ABCD 为矩形, G 为线段 AB 的中点, CG DG,CD DF CE 2 ,则四棱锥 E ABCD与三棱锥 F CDG 的公共部分的体积为________________ .
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【题目】某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为__________元.
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【题目】已知函数f(x)=ex+e-x,其中e是自然对数的底数.
(1)证明:f(x)是R上的偶函数;
(2)若关于x的不等式mf(x)≤e-x+m-1在(0,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围;
(3)已知正数a满足:存在x0∈[1,+∞),使得f(x0)<a(-+3x0)成立.试比较ea-1与ae-1的大小,并证明你的结论.
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【题目】下列说法正确的是( )
A.在频率分布直方图中,众数左边和右边的直方图的面积相等;
B.为调查高三年级的240名学生完成作业所需的时间,由教务处对高三年级的学生进行編号,从001到240抽取学号最后一位为3的学生进行调查,则这种抽样方法为分层抽样;
C.“”是“
”的必要不充分条件;
D.命题:“
,使得
”的否定为:“
,均有
”.
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