Question

【题目】设函数f（x）=3ax2+2bx+c，且有a+b+c=0，f（0）＞0，f（1）＞0．
（Ⅰ）求证：a＞0，且﹣2＜ ＜﹣1；
（Ⅱ）求证：函数y=f（x）在区间（0，1）内有两个不同的零点．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）∵函数f（x）=3ax2+2bx+c，f（0）＞0，f（1）＞0，
∴c＞0，3a+2b+c＞0，
由条件a+b+c=0，消去b，得a＞c＞0；
由条件a+b+c=0，消去c，得a+b＜0，2a+b＞0，即﹣2a＜b＜﹣a，
∴
（Ⅱ）抛物线f（x）=3ax2+2bx+c的顶点为 ，
由 ，得 ，即有 ，
又∵f（0）＞0，f（1）＞0， ，且图象连续不断，
∴函数y=f（x）在区间 与 内分别有一个零点，
故函数y=f（x）在（0，1）内有两个不同的零点
【解析】（I）由a+b+c=0，f（0）＞0，f（1）＞0，消去b，得a＞c＞0，消去c，得a+b＜0，2a+b＞0，即﹣2a＜b＜﹣a，进而可得a＞0，且﹣2＜ ＜﹣1；（Ⅱ）抛物线f（x）=3ax2+2bx+c的顶点为 ，结合（1）中结论，可得 且f（0）＞0，f（1）＞0， ，且图象连续不断，由函数零点存在定理可得结论．
【考点精析】掌握二次函数的性质是解答本题的根本，需要知道当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减．