Question

【题目】设，数列满足， .

（Ⅰ）当时，求证：数列为等差数列并求；

（Ⅱ）证明：对于一切正整数，．

Answer 1

【答案】(1) ；证明见解析.

(2) 证明见解析.

【解析】分析：（1）先将原式变形：，，从而.故数列是以为首项，为公差的等差数列.然后根据等差通项求解即可；（2）当时，由得：，进而，这说明数列是以为首项，为公比的等比数列，故得到的通项公式，然后根据分析法欲证，只需证，即证：.

将变形结合基本不等式计算最值即可

详解：

（Ⅰ） ，，从而. 显然，所以数列是以为首项，为公差的等差数列.

于是，，.

（Ⅱ）证明：①当时，不等式显然成立；

②当时，由得：，进而，这说明数列是以为首项，为公比的等比数列，于是.

欲证，只需证，即证：.

.

原不等式成立.