Question

【题目】在四棱锥中，平面平面，侧面是边长为的等边三角形，底面是矩形，且，则该四棱锥外接球的表面积等于__________.

Answer 1

【答案】

【解析】∵平面SAB⊥平面SAD,平面SAB∩平面SAD=SA,侧面SAB是边长为的等边三角形，设AB的中点为E，SA的中点为F，

则BF⊥SA，∴BF⊥平面SAD，∴BF⊥AD，底面ABCD是矩形，∴AD⊥平面SAB，SE平面SAB，

∴AD⊥SE，又SE⊥AB，AB∩AD=A，

∴SE⊥底面ABCD，作图如下：

∵SAB是边长为的等边三角形，

∴.

又底面ABCD是矩形，且BC=4，

∴矩形ABCD的对角线长为，

∴矩形ABCD的外接圆的半径为.

设该四棱锥外接球的球心为O，半径为R，O到底面的距离为h，

则r2+h2=R2,即7+h2=R2,又R2=22+(SEh)2=4+(3h)2，

∴7+h2=4+(3h)2，

∴h=1.

∴R2=7+h2=8,

∴该四棱锥外接球的表面积.