Question

设f（x）=（

1

3

）^x-3^x，解关于x的不等式f（

x2-2x+a

1-x

）+f（x）≤0．

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：根据指数函数的性质判断函数f（x）的单调性和奇偶性，利用函数的奇偶性和单调性将不等式进行转换，然后根据不等式的解法讨论a的取值即可得到结论．

解答： 解：根据函数单调性的性质可知f（x）=（

1

3

）^x-3^x为减函数，
且f（x）=（

1

3

）^x-3^x=3^-x-3^x，
则f（-x）=3^x-3^-x=-（3^-x-3^x）=-f（x），∴f（x）是奇函数，
则不等式f（

x2-2x+a

1-x

）+f（x）≤0等价为f（

x2-2x+a

1-x

）≤-f（x）=f（-x），
∴

x2-2x+a

1-x

≥-x．即

x2-2x+a

1-x

+x=

x2-2x+a+x-x2

1-x

=

a-x

1-x

=

x-a

x-1

≥0．
若a=1，则不等式

x-a

x-1

=1≥0恒成立，此时不等式的解集为{x|x≠1}．
若a＞1，则由不等式

x-a

x-1

≥0得x≥a或x＜1，即不等式此时的解集为{x|x≥a或x＜1}，
若a＜1，则由不等式

x-a

x-1

≥0得x≤a或x＞1，即不等式此时的解集为{x|x≤a或x＞1}，
综上：若a=1，不等式的解集为{x|x≠1}．
若a＞1，不等式此时的解集为{x|x≥a或x＜1}，
若a＜1，不等式此时的解集为{x|x≤a或x＞1}．

点评：本题主要考查不等式的解法，利用函数的单调性和奇偶性将条件进行转化是解决本题的关键，本题综合考查函数的性质，综合性较强，有一定的难度．