Question

已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A-B+C）=sin（C-A-B）+

1

2

，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，在下列不等式一定成立的是（　　）

• A、bc（b+c）＞8
• B、ab（a+b）＞16

  2

• C、6≤abc≤12
• D、12≤abc≤24

Answer 1

考点：正弦定理的应用,二倍角的正弦

专题：三角函数的求值,解三角形

分析：根据正弦定理和三角形的面积公式，利用不等式的性质 进行证明即可得到结论．

解答： 解：∵△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A-B+C）=sin（C-A-B）+

1

2

，
∴sin2A+sin2B=-sin2C+

1

2

，
∴sin2A+sin2B+sin2C=

1

2

，
∴2sinAcosA+2sin（B+C）cos（B-C）=

1

2

，
2sinA（cos（B-C）-cos（B+C））=

1

2

，
化为2sinA[-2sinBsin（-C）]=

1

2

，
∴sinAsinBsinC=

1

8

．
设外接圆的半径为R，
由正弦定理可得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R，
由S=

1

2

absinC，及正弦定理得sinAsinBsinC=

S

2R2

=

1

8

，
即R²=4S，
∵面积S满足1≤S≤2，
∴4≤R²≤8，即2≤R≤2

2

，
由sinAsinBsinC=

1

8

可得8≤abc≤16

2

，显然选项C，D不一定正确，
A．bc（b+c）＞abc≥8，即bc（b+c）＞8，正确，
B．ab（a+b）＞abc≥8，即ab（a+b）＞8，但ab（a+b）＞16

2

，不一定正确，
故选：A

点评：本题考查了两角和差化积公式、正弦定理、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．