Question

5．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且经过点（$\sqrt{2}$，1），过椭圆的左顶点A作直线l⊥x轴，点M为直线l上的动点（点M与点A不重合），点B为椭圆右顶点，直线BM交椭圆C于点P．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求证：AP⊥OM；
（Ⅲ）试问$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OM}$是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，又$\frac{2}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1$，a²=b²+c²．联立解得即可得出椭圆C的方程．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，A（-2，0），B（2，0），直线BM斜率显然存在，设BM方程为y=k（x-2），则M（-2，-4k），与椭圆方程联立化为（2k²+1）x²-8k²+8k²-4=0，△＞0，利用根与系数的关系，只要证明$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{OM}$=0即可．
（Ⅲ）利用数量积运算性质即可得出．

解答 （Ⅰ）解：由已知$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，又$\frac{2}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1$，∴a²=b²+c²．
联立解得：a²=4，b²=2．
∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，A（-2，0），B（2，0），直线BM斜率显然存在，
设BM方程为y=k（x-2），则M（-2，-4k），
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-2）\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1\end{array}\right.$，得（2k²+1）x²-8k²+8k²-4=0，△＞0，
则$2{x_P}=\frac{{8{k^2}-4}}{{2{k^2}+1}}$，∴${x_P}=\frac{{4{k^2}-2}}{{2{k^2}+1}}$，${y_P}=k（{x_P}-2）=\frac{-4k}{{2{k^2}+1}}$，即$P（\frac{{4{k^2}-2}}{{2{k^2}+1}}，\frac{-4k}{{2{k^2}+1}}）$．
又$\overrightarrow{AP}=（\frac{{8{k^2}}}{{2{k^2}+1}}，\frac{-4k}{{2{k^2}+1}}）$，$\overrightarrow{OM}=（-2，-4k）$，
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{OM}=\frac{{-16{k^2}}}{{2{k^2}+1}}+\frac{{16{k^2}}}{{2{k^2}+1}}=0$，即AP⊥OM．
（Ⅲ）解：$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OM}=（\frac{{4{k^2}-2}}{{2{k^2}+1}}，\frac{-4k}{{2{k^2}+1}}）•（-2，-4k）=\frac{{-8{k^2}+4+16{k^2}}}{{2{k^2}+1}}=\frac{{8{k^2}+4}}{{2{k^2}+1}}=4$，
∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OM}$为定值4．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次的根与系数的关系、向量垂直于数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．