Question

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，AC，BD交于点O，A₁O⊥平面ABCD，A₁A=BD=2，AC=2

2

．
（1）证明：A₁C⊥平面BB₁D₁D；
（2）求三棱锥A-C₁CD的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）根据线面垂直的判定定理即可证明A₁C⊥平面BB₁D₁D；
（2）根据三棱锥的条件公式，即可求三棱锥A-C₁CD的体积．

解答： 证明：（1）∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC，
∵A₁O⊥平面ABCD，∴A₁O⊥BD，
∵A₁O∩AC=0，∴BD⊥平面A₁AC，
∴BD⊥A₁C，
由已知A₁A=2，AC=2

2

，
又AO=OC，A₁O⊥AC，
∴A₁A=A₁C=2，A₁A²=A₁C²=AC²，
∴A₁C⊥A₁A，
∵B₁B∥A₁A，∴A₁C⊥B₁B，
∵BD∩B₁B=B，
∴A₁C⊥平面BB₁D₁D．
（2）连结A₁C₁，
∵AA₁∥C₁C，且AA₁=C₁C，
∴四边形ACC₁A₁是平行四边形，
∴A₁C₁∥AC，
三棱锥A-C₁CD的体积VA-C1CD=VC1-ACD=VA1-ACD=

1

3

S△ACD×A1O=

1

3

×

1

4

•AC•BD•A1O=

1

12

×2

2

×2×

2

=

2

3

．

点评：本题主要考查线面垂直的判断以及三棱锥的体积的计算，要求熟练掌握空间线面垂直的判定定理和三棱锥的体积公式．