练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    如图所示，椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），且过点（
    		2
    ，
    		6
    2
    ）．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）已知A，B为椭圆上不同的两点，且直线AB垂直于x轴，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M，求点M的轨迹方程．
    考点：直线与圆锥曲线的综合问题
    专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
    分析：（1）把点（
    		2
    ，
    		6
    2
    ）代入椭圆方程结合c=1及a2+b2=c2求得a2，b2的值，则椭圆方程可求；
    （2）设出A，B的坐标，写出直线AF和BN的方程，联立求得M点的坐标，在把A的坐标用M的坐标表示，代入椭圆方程后得M的轨迹方程．
    解答： 解：（1）∵椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1过点（
    		2
    ，
    		6
    2
    ），且焦点为F（1，0），
    ∴
    c=1
    a2+b2=c2
    2
    a2
    +
    3
    2b2
    =1
    ，解得：a2=4，b2=3，
    则椭圆C的方程为
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1    ；
    （2）∵F（1，0）、N（4，0），设A（m，n），则B（m，-n）n≠0，
    则直线AF的方程为：y=
    n
    m-1
    (x-1)    ，
    BN的方程分别为：y=
    n
    4-m
    (x-4)    ，
    则联立方程解得点M的坐标为x0=
    5m-8
    2m-5
    ，y0=
    3n
    2m-5
    ．
    则m=
    5x0-8
    2x0-5
    ，n=
    3y0
    2x0-5
    ．
    将点A（m，n）代入椭圆C中可得
    x02
    4
    +
    y02
    3
    =1    ．
    ∵m≠±2，
    ∴x0≠±2．
    即点M的轨迹方程为
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1    ．（x≠±2）．
    点评：本题主要考查椭圆方程的求法，考查直线与圆锥曲线关系问题，训练了代入法求曲线的轨迹方程，是中档题．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=ln（x2+a）（a＞0）
    （1）若a=2，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．
    （2）令g（x）=f（x）-
    2
    3
    x3，求证：在区间（0，
    1
    a
    ）上，g（x）存在唯一极值点．
    （3）令h（x）=
    f′(x)
    2x
    ，定义数列{xn}：x1=0，xn+1=h（xn）．当a=2且xk∈（0，
    1
    2
    ]（k=2，3，4…）时，求证：对于任意的m∈N*，恒有|xm+k-xk|＜
    1
    3•4k-1
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=x3-3x2+3a|x-1|，a∈R．
    （1）若a=0，当x∈[-1，3]时，求函数f（x）的最小值；
    （2）设-1＜a＜1，且函数f（x）有两个极值点x1，x2，若|x1-x2|=
    		3
    ，求实数a的值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知等差数列{an}的公差d＞0，前n项和为Sn，且满足前三项的和为9，前三项的积为15．
    （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
    （Ⅱ）设数列{bn}满足bn=
    1
    Sn+n
    ，求数列{bn}的前n项和Tn．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AC，BD交于点O，A1O⊥平面ABCD，A1A=BD=2，AC=2
    		2
    ．
    （1）证明：A1C⊥平面BB1D1D；
    （2）求三棱锥A-C1CD的体积．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知等差数列{an}的公差d≠0，首项a1=3，且a1、a4、a13成等比数列，设数列{an}的前n项和为Sn（n∈N+）．
    （1）求an和Sn；
    （2）若bn=
    an(Sn≤3an)
    1
    Sn
    (Sn＞3an)
    ，数列{bn}的前n项和Tn．求证：3≤Tn＜24
    11
    60
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    现有一个寻宝游戏，规则如下：在起点P处有A、B、C三条封闭的单向线路，走完这三条线路所花费的时间分别为10分钟、20分钟、30分钟，游戏主办方将宝物放置在B线路上（参赛方并不知晓），开始寻宝时参赛方在起点处随机选择路线顺序，若没有寻到宝物，重新回到起点后，再从没有走过的线路中随机选择路线继续寻宝，直到寻到宝物并将其带回至P处，期间所花费的时间记为X．
    （1）求X≤30分钟的概率；
    （2）求X的分布列及EX的值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f（x）对于任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时f（x）＜0，f（1）=-1．
    （1）判断f（x）的单调性，并用定义法证明；
    （2）求f（x）在[0，3]上的值域．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    对于函数y=f（x），如果存在区间[m，n]（m＜n），当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]，则称f（x）在[m，n]上是“和谐函数”，且[m，n]为该函数的“和谐区间”，现有以下命题：
    ①f（x）=（x-1）2在[0，1]上是“和谐函数”；
    ②恰有两个不同的正数a使f（x）=（x-1）2在[0，a]上是“和谐函数”；
    ③f（x）=
    1
    x
    +k对任意的k∈R都存在“和谐区间”；
    ④存在区间[m，n]（m＜n），使f（x）=sinx在[m，n]上是“和谐函数”；
    ⑤由方程x|x|+y|y|=1确定的函数y=f（x）必存在“和谐区间”．
    所有正确的命题的符号是
     
    ．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案