Question

已知等差数列{a_n}的公差d≠0，首项a₁=3，且a₁、a₄、a₁₃成等比数列，设数列{a_n}的前n项和为S_n（n∈N₊）．
（1）求a_n和S_n；
（2）若b_n=

an(Sn≤3an) 1 Sn (Sn＞3an)

，数列{b_n}的前n项和T_n．求证：3≤T_n＜24

11

60

．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由a₁、a₄、a₁₃成等比数列可得关于d的方程，解出d，利用等差数列的通项公式、前n项和公式可得结果；
（2）先求出b_n，然后分n≤4，n≥5两种情况进行讨论求得T_n，由T_n的性质可证；

解答： 解：（1）∵{a_n}是等差数列，a₁=3，公差为d，
∴a₄=3+3d，a₁₃=3+12d，
∵a₁、a₄、a₁₃成等比数列，
∴（3+3d）²=3（3+12d），
整理得d²-2d=0，∵差d≠0，∴d=2，
∴a_n=3+（n-1）×2=2n+1，Sn=

n(3+2n+1)

2

=n（n+2）．
（2）∵S_n-3a_n=n（n+2）-3（2n+1）=n²-4n-3=（n+

7

-2）（n-

7

-2），
∵n∈N₊，由S_n≤3a_n，得n≤2+

7

，由S_n＞3a_n，得n＞2+

7

．
∵4＜2+

7

＜5，∴bn=

2n+1，(n≤4，且n∈N+) 1 n(n+2) ，(n≥5，且n∈N+)

，
当n≤4时，T_n=S_n=n（n+2）；
当n≥5时，T_n=T₄+[

1

5×7

+

1

6×8

+

1

7×9

+…+

1

(n-1)(n+1)

+

1

n(n+2)

]
=24+

1

2

[（

1

5

-

1

7

）+（

1

6

-

1

8

）+（

1

7

-

1

9

）+…+（

1

n-1

-

1

n+1

）+（

1

n

-

1

n+2

）]
=24+

1

2

（

1

5

+

1

6

-

1

n+1

-

1

n+2

）=24

11

60

-

2n+3

2(n+1)(n+2)

，
∴T_n＜24

11

60

，
又数列{T_n}为递增数列，
∴T_n≥T₁=3，
∴3≤T_n＜24

11

60

．

点评：该题考查等差数列的通项公式、求和公式，考查分类讨论思想，裂项相消法是常用的求和方法，要熟练掌握．