Question

如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEFG所截而得，其中AB=4，BC=1，BE=3，CF=4，若如图所示建立空间直角坐标系：
①求

EF

和点G的坐标；
②求异面直线EF与AD所成的角；
③求点C到截面AEFG的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,空间中的点的坐标,异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由题意知A（1，0，0），B（1，4，0），E（1，4，4），F（0，4，4），由此能求出

EF

，又

AG

=

EF

，能求出G（0，0，1）．
（2）由

AD

=（-1，0，0），

EF

=(-1，0，1)，能求出异面直线EF与AD所成的角．
（3）求出平面AEFG的法向量，利用向量法能求出点C到截面AEFG的距离．

解答： 解：（1）由题意知A（1，0，0），B（1，4，0），
E（1，4，4），F（0，4，4），
∴

EF

=（-1，0，1），又∵

AG

=

EF

，
设G（0，0，z），
∴（-1，0，z）=（-1，0，1），解得z=1，
∴G（0，0，1）．
（2）∵

AD

=（-1，0，0），

EF

=(-1，0，1)，
∴cos＜

AD

，

EF

＞=

AD • EF

| AD |•| EF |

=

2

2

，
∴异面直线EF与AD所成的角为45°．
（3）设平面AEFG的法向量

n

=(x，y，z)，
∵

AG

=（-1，0，1），

AE

=（0，4，3），
∴

n • AG =-x+z=0 n • AE =4y+3z=0

，取z=4，得

n

=（4，-3，4），
∵C（0，4，0），

AC

=(-1，4，0)，
∴点C到截面AEFG的距离d=

| AC • n |

| n |

=

|-4-12|

16+9+16

=

16 41

41

．

点评：本题考查

EF

和点G的坐标的求法，考查异面直线EF与AD所成的角的求法，考查点C到截面AEFG的距离的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．