Question

定义域为R的函数f（x）同时满足：①f（x）+f（-x）=1，②f（1-x）=f（x），则f（2009）=

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：利用赋值法，令x=0，求得f（0）=

1

2

，f（1）=

1

2

，令x=-x，得到f（1+x）=1-f（x），据此推得f（x）=

1

2

，问题得以解决．

解答： 解：令x=0，则：f（0）+f（-0）=1，f（1-0）=f（0），
所以f（0）=

1

2

，f（1）=

1

2

，
令x=-x，则f（1+x）=f（-x），
∴f（x）+f（1+x）=1，
即f（1+x）=1-f（x）
再令x=1，
则f（2）=1-f（1）=

1

2

，
以此类推，f（x）=

1

2

∴f（2009）=

1

2

，
故答案为：

1

2

点评：本题是一道抽象函数问题，解题的关键是巧妙的赋值，求出函数值和函数的周期性，即灵活的“赋值法”是解决抽象函数问题的基本方法．