Question

对于函数y=f（x），如果存在区间[m，n]（m＜n），当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]，则称f（x）在[m，n]上是“和谐函数”，且[m，n]为该函数的“和谐区间”，现有以下命题：
①f（x）=（x-1）²在[0，1]上是“和谐函数”；
②恰有两个不同的正数a使f（x）=（x-1）²在[0，a]上是“和谐函数”；
③f（x）=

1

x

+k对任意的k∈R都存在“和谐区间”；
④存在区间[m，n]（m＜n），使f（x）=sinx在[m，n]上是“和谐函数”；
⑤由方程x|x|+y|y|=1确定的函数y=f（x）必存在“和谐区间”．
所有正确的命题的符号是

 

．

Answer 1

考点：进行简单的合情推理

专题：综合题,新定义

分析：①x∈[0，1]时，f（x）的值域是[0，1]，是和谐函数；
②结合①知，得出恰有两个正数a=1和a=

3+ 5

2

，满足题意；
③由题意x＞0时，

f(m)=n f(n)=m

，求出k=0时有“和谐区间”，判定命题不成立；
④由x＞0时，sinx＜x恒成立，判定f（x）在[0，+∞）上不是“和谐函数”；
⑤x≥0且y≥0时，求出函数的“和谐区间”，判定命题是否正确．

解答： 解：对于①，当x∈[0，1]时，f（x）=（x-1）²是减函数，且值域是[0，1]，∴是和谐函数，命题正确；
对于②，令（a-1）²=a（a＞0），∴a=

3+ 5

2

，结合①知，恰有两个正数a=1和a=

3+ 5

2

，满足题意，∴命题正确；
对于③，x＞0时，若存在[m，n]为“和谐区间”，由单调递减性，得

f(m)=n f(n)=m

，
即

1 m +k=n 1 n +k=m

，两式相减得mn=1，∴k=0，即k=0时有“和谐区间”，∴命题错误；
对于④，∵x＞0时，sinx＜x恒成立，∴f（x）=sinx在[0，+∞）上不是“和谐函数”，
同理f（x）=sinx在（-∞，0]上不是“和谐函数”，∴命题错误；
对于⑤，当x≥0且y≥0时，y=

1-x2

，[0，1]是它的“和谐区间”，∴命题正确；
综上，正确的命题是①②⑤．
故答案为：①②⑤．

点评：本题考查了新定义的问题，解题时应根据题意，通过函数的性质、图象，结合举例说明的方法，来解答本题，是综合题．