Question

已知点P在椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b≥1）上运动，点Q在圆x²+y²=1上运动，|PQ|取值范围为[m，n]，若[m，n]⊆[1，5]，则椭圆的离心率e的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意，|PQ|_min=b-1，|PQ|_max=a+1，可得m=b-1，n=a+1，利用|PQ|取值范围为[m，n]，[m，n]⊆[1，5]，可得[b-1，a+1]⊆[1，5]，从而可求椭圆的离心率e的取值范围．

解答： 解：由题意，|PQ|_min=b-1，|PQ|_max=a+1，∴m=b-1，n=a+1．
∵|PQ|取值范围为[m，n]，[m，n]⊆[1，5]，
∴[b-1，a+1]⊆[1，5]，
∴b-1≥1且a+1≤5，
∴b≥2且a≤4，∴

b

a

≥

1

2

，
∴e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=1-

b2

a2

≤

3

4

，
∴0＜e≤

3

2

．

点评：本题考查椭圆的离心率e的取值范围，考查椭圆性质的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．