Question

已知数列{a_n}的各项均为正整数，S_n为其前n项和，对于n=1，2，3，…，有a_n+1=

3an+5，an为奇数 an 2k ，an为偶数，其中k为使an+1为奇数的正整数

，则当a₁=1时，S₂₀=

 

．变：若存在m∈N^*，当n＞m且a_n为奇数时，a_n恒为常数p，则p=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：由a₁=1，可得a₂=3a₁+5=8，a₃=

8

2k

，根据题意当k=3时，a₃=1．得到a₄=3a₃+5=8．…．由此可得：数列{a_n}是奇数项组成以常数1为项的常数列，偶数项是以常数8为项的常数列，即可得出S₂₀．若存在m∈N^*，当n＞m且a_n为奇数时，a_n恒为常数p，知a_n=p，再由数列{a_n}的各项均为正整数，能求出p．

解答： 解：∵a₁=1，∴a₂=3a₁+5=8，a₃=

8

2k

，取k=1，2时，a₃为偶数，应舍去；当k=3时，a₃=1．
∴a₄=3a₃+5=8．
…．
∴数列{a_n}是奇数项组成以常数1为项的常数列，偶数项是以常数8为项的常数列．
∴S_2k=k×1+k×8=9k，S_2k-1=S_2k-8，
∴S₂+S₄+…+S₁₀=9×（1+2+…+5）=135．
∴S₁+S₃+…+S₉=（S₂-8）+（S₄-8）+…+（S₁₀-8）=135-8×5=95．
∴S₁+S₂+…+S₂₀=135+95=230．
若存在m∈N^*，当n＞m且a_n为奇数时，a_n恒为常数p，
则a_n=p，a_n+1=3p+5，a_n+2=

3p+5

2k

=p，
∴（3-2^k）p=-5，
∵数列{a_n}的各项均为正整数，
∴当k=2时，p=5，
当k=3时，p=1．
故答案为：230，1或5．

点评：本题考查数列的递推公式的性质和应用，解题时分别求出a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆，a₇，a₈，a₉，仔细观察能够发现{a_n}从第3项开始是周期为6的周期数列，借助数列的周期性进行求解．