Question

现有一个寻宝游戏，规则如下：在起点P处有A、B、C三条封闭的单向线路，走完这三条线路所花费的时间分别为10分钟、20分钟、30分钟，游戏主办方将宝物放置在B线路上（参赛方并不知晓），开始寻宝时参赛方在起点处随机选择路线顺序，若没有寻到宝物，重新回到起点后，再从没有走过的线路中随机选择路线继续寻宝，直到寻到宝物并将其带回至P处，期间所花费的时间记为X．
（1）求X≤30分钟的概率；
（2）求X的分布列及EX的值．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,相互独立事件的概率乘法公式

专题：概率与统计

分析：（1）利用互斥事件概率加法公式能求出X≤30分钟的概率．
（2）由题意知X的所有可能取值为20，30，50，60，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及EX的值．

解答： 解：（1）X≤30分钟的概率：
P（X≤30）=P（B）+P（AB）=

1

3

+

1

3

×

1

2

=

1

2

．
（2）由题意知X的所有可能取值为20，30，50，60，
P（X=20）=P（B）=

1

3

，
P（X=30）=P（AB）=

1

3

×

1

2

=

1

6

，
P（X=50）=P（CB）=

1

3

×

1

2

=

1

6

，
P（X=60）=P（ABC）+P（CAB）=

1

3

×

1

2

+

1

3

×

1

2

=

1

3

，
∴X的分布列为：

X	20	30	50	60
P	1 3	1 6	1 6	1 3

∴EX=20×

1

3

+30×

1

6

+50×

1

6

+60×

1

3

=40（分）．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．