Question

如图，C、D是以AB为直径的圆上两点，AB=2AD=2

3

，AC=BC，F是AB上一点，且AF=

1

3

AB，将圆沿直径AB折起，使点C在平面ABD的射影E在BD上，已知CE=

2

．

（1）求证：AD⊥平面BCE；
（2）求三棱锥A-CFD的体积．
（3）异面直线AC与BD所成角的余弦值．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,异面直线及其所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）根据直径所对的圆周角为直角，得到AD⊥BD，结合CE⊥平面ADB得AD⊥CE，所以AD⊥平面BCE．
（2）由已知条件求出F到AD的距离等于E到AD的距离，由V_A-CFD=V_C-AFD，利用等积法能求出三棱锥A-CFD的体积．
（3）以E为原点，EF为x轴，ED为y轴，EC为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC与BD所成角的余弦值．

解答： （1）证明：依题意：AD⊥BD．
∵CE⊥平面ABD．∴CE⊥AD．
∵BD∩CE=E，∴AD⊥平面BCE．
（2）解：Rt△BCE中，CE=

2

，BC=

6

，
∴BE=2，Rt△ABD中，AB=2

3

，AD=

3

，∴BD=3．
∴

BF

BA

=

BE

BD

=

2

3

，
∴AD∥EF，AD⊥ED，且ED=BD-BE=1，
∴F到AD的距离等于E到AD的距离，为1．
∴S_△FAD=

1

2

×

3

×1=

3

2

，
∵CE⊥平面ABD，
∴V_A-CFD=V_C-AFD=

1

3

×S△FAD×CE=

1

3

×

3

2

×

2

=

6

6

．
（3）解：以E为原点，EF为x轴，ED为y轴，EC为z轴，
建立空间直角坐标系，
则A（

3

，

3

2

，0），C（0，0，

2

），
D（

3

2

，0，0），B(-

3

2

，0，0)，

AC

=（-

3

，-

3

2

，

2

），

BD

=（-3，0，0），
cos＜

AC

，

BD

＞=

3 3

3× 3+2+ 9 4

=

2 87

29

．
∴异面直线AC与BD所成角的余弦值为

2 87

29

．

点评：本题将圆沿直径翻折，求证面面垂直和线面平行，着重考查了空间线面平行的判定、线面垂直的性质和面面垂直的判定等知识，属于中档题．