Question

已知函数f（x）=x³-3x²+3a|x-1|，a∈R．
（1）若a=0，当x∈[-1，3]时，求函数f（x）的最小值；
（2）设-1＜a＜1，且函数f（x）有两个极值点x₁，x₂，若|x1-x2|=

3

，求实数a的值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数，确定函数的单调性，即可求出当x∈[-1，3]时，函数f（x）的最小值；
（2）求导数，可得两个极值点x₁，x₂，利用|x1-x2|=

3

，即可求实数a的值．

解答： 解：（1）当a=0时，f（x）=x³-3x²，则f'（x）=3x²-6x，
令f'（x）=0得x=0或x=2，
∴函数f（x）（-1，0）和（2，3）上单调递增，在（0，2）上单调递减，
∴f_min（x）=f（2）=-4；
（2）f（x）=x³-3x²+3a|x-1|=

x3-3x2+3ax-3a，x≥1 x3-3x2-3ax+3a，x＜1

，
则f'（x）=

3x2-6x+3a，x≥1 3x2-6x-3a，x＜1

，令g（x）=3x²-6x+3a，h（x）=3x²-6x-3a，
∴g（1）=3a-3，h（1）=-3-3a，
∵-1＜a＜1，∴h（1）=-3-3a＜0．g（1）=3a-3＜0，
∴函数f（x）在（-∞，1-

1+a

）和（1+

1-a

，+∞）上单调递增，在（1-

1+a

，1+

1-a

）上单调递减，
∴函数f（x）有极值点1-

1+a

和1+

1-a

，
由题意知，

1-a

+

1+a

=

3

，解得a=±

3

2

，
∴实数a的值为±

3

2

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的极值与最值，属于中档题．