Question

6．已知圆C₁：x²+y²=4与圆C₂：（x-1）²+（y-3）²=4，过动点P（a，b）分别作圆C₁、圆C₂的切线PM，PN，（M，N分别为切点），若|PM|=|PN|，则a²+b²-6a-4b+13的最小值是（　　）

• A． 5
• B． $\frac{8}{5}$
• C． $\frac{2}{5}\sqrt{10}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 根据条件PM=PN，求出P的轨迹方程，a²+b²-6a-4b+13=（a-3）²+（b-2）²的几何意义为P到定点（3，2）的距离的平方，即可得到结论．

解答 解：∵过动点P（a，b）分别作圆C₁，圆C₂的切线PM，PN（ M、N分别为切点），若PM=PN，
∴|PC₁|²=|PC₂|²，
即a²+b²=（a-1）²+（b-3）²，
即a+3b-5=0，即动点P（a，b）在直线x+3y-5=0上，
a²+b²-6a-4b+13=（a-3）²+（b-2）²的几何意义为P到定点（3，2）的距离的平方，
则点（3，2）到直线x+3y-5=0的距离为$\frac{|3+6-5|}{\sqrt{1+9}}$=$\frac{4}{\sqrt{10}}$，
故a²+b²-6a-4b+13的最小值为$\frac{8}{5}$，
故选B．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，以及点到直线的距离公式的应用，利用距离的几何意义是解决本题的关键．