Question

11．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，三角形ABC为等腰直角三角形，AC=BC=$\sqrt{2}$，AA₁=1，点D是AB的中点．
（1）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（2）二面角B₁-CD-B的平面角的大小．

Answer 1

分析 （1）设BC₁∩B₁C=E，连接ED，则ED∥AC，由此能证明AC₁∥平面CDB₁．
（2）推导出CD⊥AB，BB₁⊥CD，从而CD⊥平面ABB₁A₁，进而CD⊥B₁D，CD⊥AB，∠B₁DB为二面角B₁-CD-B的平面角，由此能求出二面角B₁-CD-B的平面角的大小．

解答 （本小题10分）
证明：（1）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
设BC₁∩B₁C=E，则E为BC₁的中点，连接ED
∵D为AB的中点，∴ED∥AC…..（3分）
又∵ED?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．   …（5分）
解：（2）∵△ABC中，AC=BC，D为AB中点，∴CD⊥AB，
又∵BB₁⊥平面ABC，CD?平面ABC，∴BB₁⊥CD，
又AB∩BB₁=B，∴CD⊥平面ABB₁A₁，…（7分）
∵B₁D?平面ABB₁A₁，AB?平面ABB₁A₁
∴CD⊥B₁D，CD⊥AB，
∴∠B₁DB为二面角B₁-CD-B的平面角…（8分）
∵三角形ABC中，AB=2，∴BD=1，
在Rt△B₁BD中，$tan∠{B_1}BD=\frac{{{B_1}B}}{BD}=1$，
∴∠B₁BD=45°，
∴二面角B₁-CD-B的平面角的大小为45°．…（10分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．