Question

2．已知$f（x）=2+log_2^x，x∈[{\frac{1}{4}，4}]$，试求y=[f（x）]²+f（x²）的值域[1，13]．

Answer 1

分析 根据$x∈[\frac{1}{4}，4]$，求出y=[f（x）]²+f（x²）的定义域，利用换元法求解值域．

解答 解：由题意，$x∈[\frac{1}{4}，4]$，
则f（x²）的定义域为[$\frac{1}{2}$，2]，
故得函数y=[f（x）]²+f（x²）的定义域为[$\frac{1}{2}$，2]．
∴y=（2+log₂x）²+2+2log₂x．
令log₂x=t，（-1≤t≤1）．
则y=（2+t）²+2t+2=t²+6t+6．
开口向上，对称轴t=-3．
∴当t=-1时，y取得最小值为1．
当t=1时，y取得最大值为13，
故得函数y的值域为[1，13]．
故答案为[1，13]．

点评 本题考查了复合函数的定义域的求法和利用换元法转化为二次函数问题求解值域的问题，属于基础题．