Question

已知二次函数的图像经过坐标原点，且满足，设函数,其中为非零常数
(I)求函数的解析式；
(II)当 时，判断函数的单调性并且说明理由；
(III)证明：对任意的正整数,不等式恒成立

Answer 1

（Ⅰ）设，的图象经过坐标原点，所以c=0.
∵ ∴
即：
∴a=1,b=0,；……………………………………４分
（Ⅱ）函数的定义域为
．，
令，，
，
∵，∴，在上恒成立，
即，当时,函数在定义域上单调递减．………９分
（III）当时，，令 
则在上恒正，
∴在上单调递增，当时，恒有.，
即当时，有，
对任意正整数，取得．………………１３分