Question

若f（x）为R上的奇函数，且满足f（x-2）=-f（x），对于下列命题：
①f（2）=0；
②f（x）是以4为周期的周期函数；
③f（x）的图象关于x=0对称；
④f（x+2）=f（-x）．
其中正确命题的序号为________．

Answer 1

解：由f（x）为R上的奇函数可得f（0）=0，在f（x-2）=-f（x）中令x=2可得f（0）=-f（2），
故f（2）=0，故①正确．
∵f（x）为R上的奇函数，且满足f（x-2）=-f（x），
令x-2=t，则x=t+2，f（t）=-f（t+2），∴f（t）=f（t+4），
故f（x）是以4为周期的周期函数，故②正确．
由奇函数的性质可得，函数图象关于点（0，0）对称，故③不正确．
在f（x-2）=-f（x）中，把x换成x+2可得f（x）=-f（x+2），即f（x+2）=-f（x），
再由f（x）为R上的奇函数可得f（x+2）=f（-x），故④正确．
故答案为①②④．
分析：由奇函数的性质可得f（0）=0，在f（x-2）=-f（x）中令x=2可得f（0）=-f（2），故①正确．
令x-2=t，则x=t+2，代入条件可得f（t）=-f（t+2），故f（t）=f（t+4），故②正确．
由奇函数的性质可得，函数图象关于点（0，0）对称，故③不正确．
在f（x-2）=-f（x）中，把x换成x+2化简可得④正确．
点评：本题主要考查函数的奇偶性和周期性的应用，准确理解函数的奇偶性和周期性，是解题的关键，属于基础题．