Question

已知函数m（x）=log₂（4^x+1），n（x）=kx（k∈R）．
（1）当x＞0时，F（x）=m（x）．若F（x）为R上的奇函数，求x＜0时F（x）的表达式；
（2）若f（x）=m（x）+n（x）是偶函数，求k的值；
（3）对（2）中的函数f（x），设函数g（x）=log₂（a?2^x-

4

3

a），其中a＞0．若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用奇函数的性质F（x）=-F（-x）即可得出；
（2）利用偶函数的性质f（-x）=f（x）即可得出k．
（3）由于a＞0，可得g（x）=log₂（a?2^x-

4

3

a）定义域为（log₂

4

3

，+∞），也就是满足2^x＞

4

3

．由于函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点．可知：方程log₂（4^x+1）-x=log₂（a?2^x-

4

3

a）在（log₂

4

3

，+∞）上只有一解，即方程

4x+1

2x

=a?2^x-

4

3

a在（log₂

4

3

，+∞）上只有一解．通过换元：
令2^x=t，则t＞

4

3

，因而等价于关于t的方程（a-1）t²-

4

3

at-1=0     （*）在（

4

3

，+∞）上只有一解．再通过分类讨论即可得出．

解答：解：（1）设x＜0，则-x＞0，
∵F（x）为R上的奇函数，
∴F（x）=-F（-x）=-log₂（4^-x+1），
∴x＜0时，F（x）=-log₂（4^-x+1）； 
（2）∵f（x）=log₂（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数，
∴f（-x）=f（x）对任意x∈R恒成立，
即log₂（4^-x+1）-kx=log₂（4^x+1）+kx恒成立，
∴-2x-2kx=0恒成立，
∴k=-1．                  
（3）∵a＞0，∴g（x）=log₂（a?2^x-

4

3

a）定义域为（log₂

4

3

，+∞），
也就是满足2^x＞

4

3

．
∵函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，
∴方程log₂（4^x+1）-x=log₂（a?2^x-

4

3

a）在（log₂

4

3

，+∞）上只有一解，
即方程

4x+1

2x

=a?2^x-

4

3

a在（log₂

4

3

，+∞）上只有一解．  
令2^x=t，则t＞

4

3

，因而等价于关于t的方程
（a-1）t²-

4

3

at-1=0     （*）在（

4

3

，+∞）上只有一解．
①当a=1时，解得t=-

3

4

∉（

4

3

，+∞），不合题意；
②当0＜a＜1时，记h（t）=（a-1）t²-

4

3

at-1，其图象的对称轴t=

2a

3(a-1)

＜0．
∴函数h（t）=（a-1）t²-

4

3

at-1在（0，+∞）上递减，而h（0）=-1，
∴方程（*）在（

4

3

，+∞）无解．
③当a＞1时，记h（t）=（a-1）t²-

4

3

at-1，其图象的对称轴t=

2a

3(a-1)

＞0，
∴只需h（

4

3

）＜0，即

16

9

（a-1）-

16

9

a-1＜0，此式恒成立．
综上所述，所求a的取值范围为（1，+∞）．

点评：本题综合考查了函数的奇偶性、指数函数与对数函数的互化、换元法、二次函数的性质、分类讨论等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力和推理能力，属于难题．