Question

（2013•太原一模）已知函数f(x)=

x3，-1＜x≤0 f(x-1)+1，x＞0

，若函数g（x）=f（x）-x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为（　　）

• A．an=

  n(n-1)

  2

• B．a_n=n（n-1）
• C．a_n=n-1
• D．an=2n-2

Answer 1

分析：根据函数的零点的定义，构造两函数图象的交点，交点的横坐标即为函数的零点，再通过数列及通项公式的概念得所求的解．

解答：解：当x∈（-1，0]时，由g（x）=f（x）-x=x³-x=0，可得x=0，故函数g（x）=f（x）-x的零点为 x=0．
当x∈（0，1]时，x-1∈（-1，0]，f（x）=f（x-1）+1=（x-1）³+1，
由g（x）=f（x）-x=（x-1）³+1-x=0 求得 x=1，故函数g（x）=f（x）-x的零点为 x=1．
当x∈（1，2]时，x-1∈（0，1]，f（x）=f（x-1）+1=（x-2）³+1+1=（x-2）³+2，
由g（x）=f（x）-x=（x-2）³+2-x=0 求得 x=2，故函数g（x）=f（x）-x的零点为 x=2．
以此类推，当x∈（2，3]，x∈（3，4]，…，x∈（n，n+1]时，函数g（x）对应的零点分别为x=3，x=4，…，x=n+1．
故所有的零点从小到大依次排列为0，1，2，…，n+1．其对应的数列的通项公式为a_n=n-1．
故选 C．

点评：本题主要考查了函数零点的概念及零点的求法、数列的概念及简单表示；培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；
解题中使用了数形结合及分类讨论的数学方法和数学思想，属于中档题．