Question

14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且$\frac{ac}{{b}^{2}{-c}^{2}{-a}^{2}}$=$\frac{sinAcosA}{cos（A+C）}$．
（1）求角A；
（2）若$\frac{bsinA}{acosC}$＞$\sqrt{2}$，求角C的范围．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理可得$\frac{ac}{-2accosB}$=$\frac{\frac{1}{2}sin2A}{-cosB}$．解得：sin2A=1，结合A的范围，即可得解．
（2）由$\frac{bsinA}{acosC}$＞$\sqrt{2}$，可得C为锐角．由正弦定理可得$\frac{sinB}{cosC}$$＞\sqrt{2}$，结合B=$\frac{3π}{4}$-C，解得sin（ $\frac{3π}{4}$-C）＞$\sqrt{2}$cosC，化为sin（C-$\frac{π}{4}$）＞0，利用正弦函数的图象和性质即可得解．

解答 解：（1）∵由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，
∴$\frac{ac}{{b}^{2}{-c}^{2}{-a}^{2}}$=$\frac{ac}{-2accosB}$=-$\frac{1}{2cosB}$=$\frac{sinAcosA}{cos（A+C）}$=$\frac{\frac{1}{2}sin2A}{-cosB}$．解得：sin2A=1，
∵A∈（0，π），2A∈（0，2π），
∴2A=$\frac{π}{2}$，可解得：A=$\frac{π}{4}$．
（2）∵$\frac{bsinA}{acosC}$＞$\sqrt{2}$，
∴cosC＞0，C为锐角．
∴由正弦定理可得：sinB=$\frac{bsinA}{a}$，解得：$\frac{sinB}{cosC}$$＞\sqrt{2}$，
∵$\frac{sinB}{cosC}＞\sqrt{2}$，B=$\frac{3π}{4}$-C，
∴0＜C＜$\frac{π}{2}$，sin（ $\frac{3π}{4}$-C）＞$\sqrt{2}$cosC，
化为sin（C-$\frac{π}{4}$）＞0，
∴$\frac{π}{4}$＜C＜$\frac{π}{2}$．即C∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，正弦函数的图象和性质的综合应用，属于基本知识的考查．