Question

已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（2-x）=f（x），f（1）=1，且f（x）在（0，1）上单调，则方程f（x）=|lgx|的实根的个数为（　　）

A．5

B．6

C．10

D．12

Answer 1

分析：利用函数的奇偶性和对称性，可得函数的对称性，然后分别作出函数y=f（x）和y=|lgx|的图象，利用图象确定方程根的个数．

解答：解：∵函数为奇函数，且f（2-x）=f（x），
∴f（2-x）=f（x）=-f（x-2），即f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=f（x），即函数f（x）的周期为4．
由f（2-x）=f（x），得到函数的对称轴为x=1，
当lgx=1时，解得x=10．
作出函数y=f（x）和y=|lgx|的图象如图：
则由图象可知，两个函数的图象交点个数为6个．
故方程f（x）=|lgx|的实根的个数为6个．
故选：B．

点评：本题主要考查函数交点个数的判断，利用函数的奇偶性和对称性可得函数的周期性，利用数形结合可以求出两个函数的交点．