Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点，
(Ⅰ)证明：CD⊥AE；
(Ⅱ)证明：PD⊥平面ABE；
(Ⅲ)求二面角A-PD-C的大小。

Answer 1

(Ⅰ)证明：在四棱锥P-ABCD中， 因PA⊥底面平面ABCD， 故PA⊥CD， ∵AC⊥CD，PA∩AC=A， ∴CD⊥平面PAC， 而平面PAC， ∴AE⊥CD。 (Ⅱ)证明：由PA=AB=BC，∠ABC=60°， 可得AC=PA， ∵E是PC的中点， ∴AE⊥PC， 由(Ⅰ)知，AE⊥CD，且PC∩CD=C， 所以AE⊥平面PCD， 而平面PCD， ∴AE⊥PD， ∵PA⊥底面ABCD，PD在底面ABCD内射影是AD，AB⊥AD， ∴AB⊥PD， 又AB∩AE=A， 综上得PD⊥平面ABE。
(Ⅲ)解：过点A作AM⊥PD，垂足为M，连结EM， 由(Ⅱ)知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM， 则EM⊥PD，因此∠AME是二面角A-PD-C的平面角， 由已知，得， 设AC=a，可得， 在中， ∵AM⊥PD， ∴AM·PD=PA·AD， 则， 在中，， 所以二面角A-PD-C的大小是。