Question

【题目】已知函数.

（1）若，求函数的极小值；

（2）设函数，求函数的单调区间；

（3）若在区间上存在一点，使得成立，求的取值范围，（ ）

Answer 1

【答案】（1）当时，函数取得极小值1；（2）当时， 的递减区间为；递增区间为，当时， 只有递增区间为；（3）.

【解析】试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调区间、利用导数求函数的极值和最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问，当时，先得到解析式，在定义域范围内，解不等式， 得到函数的单调区间，从而得到函数的极值；第二问，先求出表达式，对求导，需讨论的根与0的大小，分情况讨论；第三问，将在（）上存在一点，使得成立转化为，构造函数，结合第二问的结论，讨论求的最小值.

试题解析：（1）的定义域为． 1分

当时， ， ． 2分

由，解得.

当时， ， 单调递减；

当时， ， 单调递增；

所以当时，函数取得极小值，极小值为； 4分

（2），其定义域为．

又． 5分

①当，即时，在上，所以，函数在上单调递增. 6分

②当，即时，在上，在上，

所以在上单调递减，在上单调递增； 7分

综上所述：当时， 的递减区间为；递增区间为．

当时， 只有递增区间为． 8分

（3）若在上存在一点，使得成立，即在上存在一点，使得．

则函数在上的最小值小于零． 9分

①当，即时，由（2）可知在上单调递减．

故在上的最小值为，由，可得．

因为．所以； 10分

②当，即时，由（2）可知在上单调递增．

故在上最小值为，由，

可得（满足）； 11分

③当，即时，由（2）可知可得在上最小值为

．

因为，所以， ．

，即不满足题意，舍去． 13分

综上所述得，或．

实数的取值范围为． 14分