Question

6．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=2$\sqrt{3}$，sinB=2sinA．
（1）若C=$\frac{π}{3}$，求a，b的值；
（2）若cosC=$\frac{1}{4}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理可得b=2a，利用余弦定理可求a的值，进而可求b；
（2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinC，又b=2a，利用余弦定理可解得c=2a，从而可求a，b，利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵C=$\frac{π}{3}$，sinB=2sinA，
∴由正弦定理可得：b=2a，…2分
∵c=2$\sqrt{3}$，
∴由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC，即：12=a²+4a²-2a²，
∴解得：a=2，b=4…6分
（2）∵cosC=$\frac{1}{4}$，
∴sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
又∵b=2a，
∴由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC=a²+4a²-a²=4a²，解得：c=2a，…9分
∵c=2$\sqrt{3}$，可得：a=$\sqrt{3}$，b=2$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{15}}{4}$=$\frac{3\sqrt{15}}{4}$…12分

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．