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如图,在直三棱柱中,平面侧面,且
(1) 求证:
(2) 若直线与平面所成的角为,求锐二面角的大小。
(1)过程详见解析;(2).

试题分析:本题以直三棱柱为背景,考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、二面角、向量法等基础知识,考查学生的空间想象能力、逻辑思维能力、转化能力、计算能力.第一问,作出辅助线AD,即可得到,利用面面垂直的性质,得到,再利用线面垂直的性质,得到,同理,得到,利用线面垂直的判定,得到侧面,从而利用线面垂直的性质,得到;第二问,可以利用传统几何法,证明二面角的平面角为,在三角形中,利用边角关系解出角的值,还可以利用向量法,建立空间直角坐标系,计算出平面和平面的法向量,利用夹角公式计算.
试题解析:(1)证明:如图,取的中点,连接,                    1分

,则                            2分
由平面侧面,且平面侧面,    3分
,又平面,            
所以.              4分
因为三棱柱是直三棱柱,

所以.
,从而侧面 ,
侧面,故.                7分
(2)解法一:连接,由(1)可知,则内的射影∴ 即为直线所成的角,则        8分
在等腰直角中,,且点中点
,且
                                                 9分
过点A作于点,连
由(1)知,则,且
即为二面角的一个平面角                  10分
且直角中:

∴ ,且二面角为锐二面角
,即二面角的大小为                 14分
解法二(向量法):由(1)知,所以以点为原点,以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,如图所示,且设,则
,        ,           ,            
,  ,   ,      9分
设平面的一个法向量
,  得:
 令 ,得 ,则              10分
设直线所成的角为,则
,解得,即      12分
又设平面的一个法向量为,同理可得,
设锐二面角的大小为,则
,且,得
∴ 锐二面角的大小为。                              14分
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A.
5
10
B.
10
10
C.
5
5
D.
10
5

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在长方体中,AB=BC=2,,则与平面所成角的正弦值为(    )
A.B.C.D.

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