【题目】已知椭圆的中心在坐标原点,且经过点
,它的一个焦点与抛物线
的焦点重合.
(1)求椭圆的方程;
(2)斜率为的直线过点
,且与抛物线
交于
两点,设点
,
的面积为
,求
的值;
(3)若直线过点
,且与椭圆
交于
两点,点
关于
轴的对称点为
,直线
的纵截距为
,证明:
为定值.
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【题目】定义在上的函数
,如果对任意
,恒有
成立,则称
为
阶缩放函数.
(1)已知函数为二阶缩放函数,且当
时,
,求
的值;
(2)已知函数为二阶缩放函数,且当
时,
,求证:函数
在
上无零点;
(3)已知函数为
阶缩放函数,且当
时,
的取值范围是
,求
在
上的取值范围.
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【题目】为了配合今年上海迪斯尼游园工作,某单位设计了统计人数的数学模型:以
表示第
个时刻进入园区的人数;以
表示第
个时刻离开园区的人数.设定以
分钟为一个计算单位,上午
点
分作为第
个计算人数单位,即
;
点
分作为第
个计算单位,即
;依次类推,把一天内从上午
点到晚上
点
分分成
个计算单位(最后结果四舍五入,精确到整数).
(1)试计算当天点至
点这一小时内,进入园区的游客人数
、离开园区的游客人数
各为多少?
(2)假设当日园区游客总人数达到或超过万时,园区将采取限流措施.该单位借助该数学模型知晓当天
点(即
)时,园区总人数会达到最高,请问当日是否要采取限流措施?说明理由.
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【题目】如图,在三棱锥中,
底面
,
,
.D,E分别为
,
的中点,过
的平面与
,
相交于点M,N(M与P,B不重合,N与P,C不重合).
(1)求证:;
(2)求直线与平面
所成角的大小;
(3)若直线与直线
所成角的余弦值
时,求
的长.
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【题目】对于自然数数组,如下定义该数组的极差:三个数的最大值与最小值的差.如果
的极差
,可实施如下操作
:若
中最大的数唯一,则把最大数减2,其余两个数各增加1;若
中最大的数有两个,则把最大数各减1,第三个数加2,此为一次操作,操作结果记为
,其级差为
.若
,则继续对
实施操作
,…,实施
次操作后的结果记为
,其极差记为
.例如:
,
.
(1)若,求
和
的值;
(2)已知的极差为
且
,若
时,恒有
,求
的所有可能取值;
(3)若是以4为公比的正整数等比数列中的任意三项,求证:存在
满足
.
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