如图，椭圆
的长轴长为
，点
、
、
为椭圆上的三个点，为椭圆的右端点，
过中心
，且
，
．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设
、
是椭圆上位于直线
同侧的两个动点（异于、），且满足
，试讨论直线
与直线
斜率之间的关系，并求证直线
的斜率为定值.
（1）
；（2）详见解析.
解析试题分析：（1）利用题中条件先得出
的值，然后利用条件，结合椭圆的对称性得到点的坐标，然后将点的坐标代入椭圆方程求出
的值，从而确定椭圆的方程；（2）将条件
得到直线与的斜率直线的关系（互为相反数），然后设直线的方程为
，将此直线的方程与椭圆方程联立，求出点的坐标，注意到直线与的斜率之间的关系得到点的坐标，最后再用斜率公式证明直线的斜率为定值.
（1）
，
，
又
是等腰三角形，所以
，
把点代入椭圆方程
，求得
，
所以椭圆方程为；
（2）由题易得直线、斜率均存在，
又，所以
，
设直线
代入椭圆方程，
化简得
，
其一解为
，另一解为
，
可求
，
用
代入得
，
，
为定值.
考点：1.椭圆的方程；2.直线与椭圆的位置关系；3.两点间连线的斜率
优等生题库系列答案
53天天练系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
设椭圆
（
）的左、右焦点为
，右顶点为
，上顶点为
．已知
．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设
为椭圆上异于其顶点的一点，以线段
为直径的圆经过点
，经过原点
的直线
与该圆相切，求直线的斜率．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
的左右顶点分别为
，离心率
．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点
为曲线
:
上任一点（点不同于
），直线
与直线
交于点
，
为线段
的中点，试判断直线
与曲线的位置关系，并证明你的结论．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆的离心率为
，过
的左焦点
的直线
被圆
截得的弦长为
.
（1）求椭圆的方程；
（2）设的右焦点为
，在圆
上是否存在点
，满足
，若存在，指出有几个这样的点（不必求出点的坐标）;若不存在，说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，
第3小题满分6分．
已知椭圆
过点
，两焦点为
、
，
是坐标原点，不经过原点的直线
与椭圆交于两不同点
、
.
(1)求椭圆C的方程；
(2) 当
时，求
面积的最大值；
(3) 若直线
、
、
的斜率依次成等比数列，求直线
的斜率
.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率
，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点，|AA′|=4．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．求△PP'Q的面积S的最大值，并写出对应的圆Q的标准方程．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
（2013•湖北）如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记
，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2．
（1）当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，求λ的值；
（2）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2？并说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知中心在原点的椭圆C: 
的一个焦点为
为椭圆C上一点，△MOF2的面积为
.
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在平行于OM的直线l，使得l与椭圆C相交于A、B两点，且以线段AB为直径的圆恰好过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.
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过点（0，4），离心率为
的直线被C所截线段的中点坐标．