Question

17．函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2x+2\\-{x^2}\end{array}\right.\begin{array}{l}，{x≤0}\\，{x＞0}\end{array}$若实数a满足f（f（a））=2，则实数a的所有取值的和为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 利用分段函数的表达式先求出f（x）=2的根，然后分别讨论a的取值范围，解方程即可．

解答 解：当x＞0时，由f（x）=2得，-x²=2，此时方程无解，
当x≤0时，由f（x）=2得，x²+2x+2=2得x²+2x=0，得x=0或x=-2，
由f（f（a））=2，得f（a）=-2，或f（a）=0，
若a≤0，则由f（a）=-2得，a²+2a+2=-2得a²+2a+4=0，此时方程无解，
由f（a）=0得，-a²=0得a=0，
若a＞0，则由f（a）=-2得，-a²=-2得a²=2，则a=$\sqrt{2}$，
由f（a）=0得，-a²=0得a=0，此时无解，
综上a=0或a=$\sqrt{2}$，
则实数a的所有取值的和为$\sqrt{2}$，
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查函数值的求解，借助分段函数的表达式，利用分类讨论的思想是解决本题的关键．