Question

20．抛物线y=x²的一组斜率为2的平行弦中点的轨迹是（　　）

• A． 圆
• B． 椭圆
• C． 抛物线
• D． 射线（不含端点）

Answer 1

分析 设出直线方程和两个交点坐标，与抛物线方程联立消去y，利用判别式大于0求得b的范围，同时根据韦达定理分别求得x₁+x₂的值，利用直线方程求得y₁+y₂的表达式，设出AB的中点的坐标，可求得x=1，同时根据b的范围可确定y的范围，最后可求得所求的轨迹方程．

解答 解：设直线方程为y=2x+b
设两个交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）联立抛物线y=x²与直线方程y=2x+b，
消去y，可得x²-2x-b=0，△=4+4b＞0，∴b＞-1①
另根据韦达定理有：x₁+x₂=2②
而A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）都在直线y=2x+b上，可分别代入得到：y₁=2x₁+b y₂=2x₂+b
∴y₁+y₂=2（x₁+x₂）+2b将②代入上式，可得：y₁+y₂=2b+4 ③
设AB的中点M（x，y），可根据中点坐标公式可得：x=1，y=b+2
由条件①可得：b+1＞0，故y=b+2＞1，
∴M点（即动弦AB中点）的轨迹方程是x=1（y＞1），轨迹是射线（不含端点）．
故选：D．

点评 本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，求轨迹方程问题等．一般是把直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求得问题的解决的途径．