Question

16．已知f（x）=$\frac{x+a}{{x}^{2}+bx+1}$是定义在[-1，1]上的奇函数．试判断它的单调性，并证明你的结论．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的性质以及函数单调性的性质进行判断即可．

解答 解：∵函数f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，
∴f（0）=0，即$\frac{a}{1}$=0，解得a=0，
则f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+bx+1}$，
则f（-x）=-f（x），
即$\frac{-x}{{x}^{2}-bx+1}$=-$\frac{x}{{x}^{2}+bx+1}$，
则x²-bx+1=x²+bx+1，
即-b=b，得b=0，
则f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$，
函数的导数f′（x）=$\frac{{x}^{2}+1-x（2x）}{（{x}^{2}+1）^{2}}$=$\frac{1-{x}^{2}}{（{x}^{2}+1）^{2}}$，
由f′（x）＞0得-1＜x＜1，此时函数单调递增，
f′（x）＜0得x＞1或x＜-1，此时函数单调递减．

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数单调性的判断，利用定义法和导数法是解决本题的关键．